Words by Tom Apostol

Where are the zeros of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess;
They're all on the critical line, saith he,
And their density's one over 2π log t.

This statement of Riemann's has been like a trigger,
And many good men, with vim and with vigour,
Have attempted to find, with mathematical rigour,
What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there,
In spite of their effort and skill and finesse,
In locating the zeros there's been little success.

In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number do lay on the line,
His theorem, however, won't rule out the case,
There might be a zero at some other place.

Let P be the function p minus Li,
The order of P is not known for x high,
If square root of x times log x we could show,
Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,
Concerning the Lindelöf function mu sigma.
Which measures the growth in the critical strip,
On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,
Convexity tells us it can have no waves,
Lindelöf said that the shape of its graph,
Is constant when sigma is more than one-half.

Oh, where are the zeros of zeta of s?
We must know exactly. It won't do to guess.
In order to strengthen the prime number theorem,
The integral's contour must never go near 'em.

Andre Weil has improved on old Riemann's fine guess
By using a fancier zeta of s.
He proves that the zeros are where they should be,
Provided the characteristic is p.

There's a moral to draw from this long tale of woe
That every young genius among you must know:
If you tackle a problem and seem to get stuck,
Just take it mod p and you'll have better luck.  


 

ζ(s)의 근은 어디에 있을까?

                                톰 어포스톨 지음

 

ζ(s)의 근은 어디에 있을까?
G.F.B 리만이 아주 그럴듯한 짐작을 했어.
"그들은 모두 임계선상에 있다"면서
"근의 밀도는 이파이분의 일 로그티 ( 1/(2π) logT )  이다"라고 했지.

리만의 이 한마디가 도화선이 되어
혈기 왕성한 사람드이 몰려들기 시작했어.
그들은 엄밀한 수학의 법칙을 따라
모드 t (mod t) 가 커지면 ζ에게
무슨 일이 생기는지 알아내려고 애썼지.

란다우와 보어, 그리고 크라메르
하디와 리틀우드, 티치마시도 왔었대.
그들은 있는 재주를 총동원하여 씨름을 벌였지.
하지만 ζ근이 거기 있어야 하는 이유를 알아내진 못했대.

1914년에 하디가 드디어 한 건 올렸어.
한 줄에 늘어서 있는 무한히 많은 수들을 찾아낸 거야.
하지만 그가 만들어낸 정리도
ζ근이 다른 곳에 있을 가능성을
완전히 배제하진 못했지.

함수 파이(π) 빼기 엘아이(Li)를 p라고 해 보자구.
x가 아주 빠르게 클 때 p가 어디까지 커질지는 우리도 몰라.
만일 루트x 곱하기 로그x를 계산할 수 있다면
리만의 추척은 사실로 판명되는 거야

이것과 관련되 수수께끼는 또 있어.
린델뢰프 함수 뮤 시그마( μ(σ) )하고 관련된 문제인데
임계띠 안에서 ζ함수가 어떻게 변해 가는지,
특히 ζ-근을 따라 올라가면 그 비밀을 알 수 있지.

하지만 이 함수의 행동 양식을 완전하게 아는 사람은 없어
곡률을 따져 봤더니 오락가락하는 파동은 아니더군
린델뢰프는 뮤 시그마의 그래프가
시그마가 이분의 일 보다 클 때 상수가 된다고 했지.

아아, ζ(s)의 근은 대체 어디에 있는 걸까?
우린 정확하게 알아야 해. 짐작 따윈 필요 없어.
소수 정리가 더욱 강력한 힘을 발휘하려면
적분 경로는 ζ-근을 피해 가야 하거든

앙드레 베유는 리만의 추측을 개선했지
더욱 별나게 생긴 제타함수를 사용했다는군
그는 ζ-근이 그 자리에 있어야만 한다는 것을 증명했어
단, 특성이 p일때 한해서.

이 길고 긴 고난의 길을 걸어오면서 한 가지 얻은 교훈이 있어.
특히 젊은 천재들은 잘 들어 두라구.
어떤 문제와 씨름하다가 난관에 봉착하면
모드 p를 취해봐. 그러면 행운이 찾아올 거야.






싸이를 돌다가 발견한 '번역 된' 수학시 한편.
구글을 뒤져 원문 발견^^

영어 공부를 해야겠습니다다다...



푸하하하 이거 노래한 mp3도 발견 꺄하하하 귀여워 >.<